一、測量誤差的概念及分類

測量誤差的定義為：“測得的量值減去參考量值”。其中，測得的量值也可稱為測得值，是表示測量結(jié)果的量值。參考量值也可稱為參考值，可以是被測量的真值；可以是給定的一個(gè)約定量值（即約定真值）；可以是具有可忽略測量不確定度的測量標(biāo)準(zhǔn)賦予的量值（簡稱標(biāo)準(zhǔn)量值）。

測量誤差是由隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差構(gòu)成的，這兩類分量都各有其誤差值（帶有正或負(fù)的符號），它們的代數(shù)和構(gòu)成了測量誤差。

隨機(jī)誤差的定義為：“在重復(fù)測量時(shí)按不可預(yù)見的方式變化的測量誤差的分量”。其特點(diǎn)是,當(dāng)測量次數(shù)趨于無窮大時(shí)，隨機(jī)誤差的數(shù)學(xué)期望趨于零。隨機(jī)誤差等于測量誤差減去系統(tǒng)誤差。

系統(tǒng)誤差定義為：“在重復(fù)測量時(shí)保持恒定不變或按可預(yù)見的方式變化的測量誤差分量”。其特點(diǎn)是，測量誤差的數(shù)學(xué)期望即為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差等于測量誤差減去隨機(jī)誤差。

從隨機(jī)誤差引出殘差的概念，將“測量列中的一個(gè)測得值與該測量列算術(shù)平均值之差”稱為殘差。

此時(shí)，隨機(jī)誤差的最佳估計(jì)值就是殘差。殘差又稱為殘余誤差或剩余誤差，是指測量列中的一個(gè)測得值與該測量列算術(shù)平均值之差。

殘差是計(jì)算實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差和測量不確定度的必不可少的參數(shù)。殘差有兩個(gè)特性：一是測量列中n個(gè)殘差的代數(shù)和等于零；二是測量列中n個(gè)殘差的平方和為最小。因而，實(shí)際應(yīng)用中，一般都是用測得值減去算術(shù)平均值所得值作為隨機(jī)誤差的最佳估計(jì)值。

修正值是指：以代數(shù)法相加于未修正測得量值，以補(bǔ)償系統(tǒng)誤差的值。因此，修正值等于負(fù)的系統(tǒng)誤差。修正因子是指：為補(bǔ)償系統(tǒng)誤差而對未修正測得量值相乘的數(shù)字因子。

修正后的測量結(jié)果中，由系統(tǒng)效應(yīng)引起的系統(tǒng)誤差的數(shù)學(xué)期望為零。

研究隨機(jī)誤差的關(guān)鍵是掌握殘差的特性和應(yīng)用方法，正確運(yùn)用殘差計(jì)算實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差和測量不確定度。因?yàn)閷?shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差是殘差平方和除以自由度所得之商的平方根，即沒有殘差就無法計(jì)算實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差。

研究系統(tǒng)誤差的關(guān)鍵是掌握如何確定系統(tǒng)誤差的常數(shù)，并將其作為修正值以補(bǔ)償或減少誤差的影響。因?yàn)樾拚档扔谪?fù)的系統(tǒng)誤差，如果不能確定系統(tǒng)誤差的常數(shù)，而只是作一般的分析和評定是沒有任何實(shí)際意義的。測量誤差理論是測量不確定度評定的理論基礎(chǔ)。

二、概率論的基本知識

為了在數(shù)學(xué)上把某一事件出現(xiàn)的可能性表示出來，就需要聯(lián)系到概率的概念。設(shè)隨機(jī)事件在次試驗(yàn)中發(fā)生了次，則其比值稱為隨機(jī)事件的頻率，記作。                              

由隨機(jī)事件的頻率穩(wěn)定性可以看出，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性可以用一個(gè)數(shù)值來表示，這個(gè)數(shù)值就是概率，其定義為：將表示隨機(jī)事件在試驗(yàn)中發(fā)生的可能性程度的，小于1的正數(shù)叫做隨機(jī)事件的概率。

當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)無窮大時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生頻率的極限值就是概率。

頻率是實(shí)驗(yàn)次數(shù)有限時(shí)定義的，概率是實(shí)驗(yàn)次數(shù)無窮大時(shí)定義的。當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)有限時(shí)，可以用頻率來代替概率；當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)無窮大時(shí)，頻率和概率就是一回事。

為了研究連續(xù)型隨機(jī)變量的理論分布，進(jìn)而引進(jìn)隨機(jī)變量的分布函數(shù)概念和概率分布密度的概念。隨機(jī)變量的概率密度等于分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即分布函數(shù)是分布密度的原函數(shù)。

隨機(jī)變量的概率隨取值而變化的規(guī)律稱為隨機(jī)變量的概率分布，而概率分布可用概率分布密度函數(shù)來描述，概率分布密度函數(shù)的圖形通常叫做分布曲線，通過分布曲線的分析，可以得出概率分布的相關(guān)性質(zhì)。常用隨機(jī)變量的概率分布主要有正態(tài)分布、均勻分布、三角分布、t分布等。

正態(tài)分布密度函數(shù)是一個(gè)指數(shù)方程式，一般稱為高斯方程式或高斯分布。在測量實(shí)踐中，均勻分布也是常見的一種分布，其特點(diǎn)是在誤差范圍內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率各處相同。因此，均勻分布又稱為矩形分布或等概率分布。

當(dāng)隨機(jī)變量的取值服從某分布時(shí)，落在某區(qū)間的概率即為置信概率。在不確定度評定中，置信概率又稱為包含概率，是指在擴(kuò)展不確定度確定的測量結(jié)果的區(qū)間內(nèi)，合理地賦予被測量之值分布的概率

測得量值的數(shù)學(xué)期望是指對同一個(gè)被測量進(jìn)行無窮多次重復(fù)測量所得算術(shù)平均值的極限。                  

為了判定隨機(jī)變量的各觀測值相對平均值的離散程度，可用離差平方的數(shù)學(xué)期望作為隨機(jī)變量的另一個(gè)數(shù)字特征。一般習(xí)慣上稱其為隨機(jī)變量的方差。

概率論中用來闡明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性的一系列定理稱為大數(shù)定律。大數(shù)定律的內(nèi)容是：當(dāng)測量次數(shù)無窮大時(shí)，可用算術(shù)平均值代替數(shù)學(xué)期望，即在這種情況下，算術(shù)平均值和數(shù)學(xué)期望是一回事；當(dāng)測量次數(shù)無窮大時(shí)，可用頻率代替概率，即在這種情況下，頻率和概率是一回事。

中心極限定理的內(nèi)容是：大量的獨(dú)立隨機(jī)變量之和，具有近似于正態(tài)的分布。

三、隨機(jī)誤差的分布與估計(jì)

隨機(jī)誤差是一種由多種隨機(jī)因素的影響而產(chǎn)生的不確定性誤差，而不確定性誤差是以不確定度表征的誤差。

隨機(jī)誤差服從于正態(tài)分布，其隨機(jī)誤差取各可能值的概率大小，可用正態(tài)分布密度函數(shù)表示，通過對正態(tài)分布曲線的分析，可以總結(jié)出隨機(jī)誤差的以下四個(gè)特征：

1.絕對值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等。

2.絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多。

3.在一定的測量條件下，隨機(jī)誤差的絕對值不會超過一定的界限。

4.隨著測量次數(shù)的增加隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨于零。

可以看出，在正態(tài)分布密度函數(shù)中，有兩個(gè)非常重要的參數(shù)，就是數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差。它是測量誤差的數(shù)字特征，也是測量不確定度評定的理論基礎(chǔ)。

算術(shù)平均值是指重復(fù)測量的全部測得量值的代數(shù)和除以測量次數(shù)所得之值。在實(shí)際測量中，用算術(shù)平均值來表征測得量值的最佳估計(jì)值。

對誤差值而言，如誤差值的數(shù)學(xué)期望不為零，說明有系統(tǒng)誤差存在；如誤差值的數(shù)學(xué)期望為零，說明無系統(tǒng)誤差存在。

標(biāo)準(zhǔn)偏差是表征測量結(jié)果分散性的重要參數(shù)，采用貝塞爾公式可計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)偏差的值。可以看出，通過測量誤差引出了算術(shù)平均值，通過算術(shù)平均值引出了殘差和自由度，進(jìn)而引出了實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差，實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差用來表征對同一被測量作n次測量結(jié)果的分散性。而表征合理地賦予被測量之值的分散性，又與測量結(jié)果相聯(lián)系的參數(shù)就是測量不確定度。因此，實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差是測量不確定度評定的重要參數(shù)，也是測量不確定度評定的理論基礎(chǔ)。

在n次獨(dú)立的測量中，取n次測量值算術(shù)平均值作為測量結(jié)果，要比取一次值可靠倍。即n次測得量值的算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差與成反比。

應(yīng)強(qiáng)調(diào)指出，無論是總體標(biāo)準(zhǔn)偏差還是實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差，都不是一個(gè)具體的誤差。它的數(shù)值大小只不過說明在一定條件下進(jìn)行一系列測量時(shí)，隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率密度分布情況。值小則表明測得量值比較集中，值大則表明測得量值比較分散。

所以在測量中，用算術(shù)平均值作為測得量值的最佳估計(jì)值，用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差表征測得量值的分散程度。

四、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)與消除

要正確理解系統(tǒng)誤差。在測量過程中所產(chǎn)生的誤差，如果它們的數(shù)值是保持恒定不變或按可預(yù)見的方式變化的，那么就稱這種誤差為系統(tǒng)誤差。可以看出，系統(tǒng)誤差的出現(xiàn)一般是有規(guī)律的，其產(chǎn)生的原因往往是可預(yù)知或可掌握的。一般來說，應(yīng)盡可能設(shè)法預(yù)見到各種系統(tǒng)誤差的來源并設(shè)法消除其影響；同時(shí)還要設(shè)法確定或估計(jì)系統(tǒng)誤差恒定不變的常數(shù)，將其作為修正值在測量結(jié)果中加以修正。

要搞清楚系統(tǒng)誤差的來源。由于系統(tǒng)誤差不可能通過對測量數(shù)據(jù)的概率統(tǒng)計(jì)方法來發(fā)現(xiàn)和消除，因而就會嚴(yán)重影響其測量結(jié)果。因此，在測量前一定設(shè)法了解一切可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的來源并設(shè)法消除它，使其影響能減弱到可以忽略的程度。所以應(yīng)了解系統(tǒng)誤差的來源，系統(tǒng)誤差的來源主要有以下四個(gè)方面：測量儀器引起的系統(tǒng)誤差；環(huán)境條件引起的系統(tǒng)誤差；測量人員引起的系統(tǒng)誤差；測量方法引起的系統(tǒng)誤差。

對于測量者來說，應(yīng)盡可能地設(shè)法預(yù)見各種系統(tǒng)誤差的具體來源，并極力設(shè)法消除它的影響，其次是設(shè)法確定或估計(jì)出能消除的系統(tǒng)誤差之值。

最終要掌握系統(tǒng)誤差的減小和修正方法。主要方法有：從測量儀器的設(shè)計(jì)上減小系統(tǒng)誤差的影響；從測量儀器的工藝上減小系統(tǒng)誤差的影響；從測量儀器的使用上減小系統(tǒng)誤差的影響；從測量方法的選擇上減小系統(tǒng)誤差的影響。在實(shí)際測量中，可以通過選擇正確的測量方法來減小系統(tǒng)誤差的影響。常用的減小系統(tǒng)誤差的方法有代替法、異號法、抵消法、交換法等。

修正值等于負(fù)的系統(tǒng)誤差。因此，當(dāng)測得量值與相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)量值比較時(shí)，測得量值與標(biāo)準(zhǔn)量值的差值為測得量值系統(tǒng)誤差的估計(jì)值。

因?yàn)樾拚档谋旧硪泊嬖谝欢ㄕ`差，因此用修正值消除系統(tǒng)誤差的方法，不可能將全部系統(tǒng)誤差修正掉。

五、測量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理

測量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理是指獲得測得量值后對數(shù)據(jù)的處理方式，即如何用算術(shù)平均值作為被測量的最佳估計(jì)值，如何用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差表征測量結(jié)果的分散性，如何剔出異常值，如何處理有效數(shù)字和進(jìn)行數(shù)字修約等。

測量結(jié)果中的異常值是由測量過程中的粗大誤差所引起的，其數(shù)值比較大，所產(chǎn)生的原因往往是由于測量者的粗心大意，或測量過程中不可重復(fù)的突發(fā)事件造成的，其對測量結(jié)果有明顯的歪曲，應(yīng)予及時(shí)發(fā)現(xiàn)將其剔除。

一般地說，隨機(jī)誤差按照正態(tài)分布的規(guī)律出現(xiàn)，在分布中心附近出現(xiàn)的機(jī)會最多，在遠(yuǎn)離分布中心處出現(xiàn)的機(jī)會最少。根據(jù)這種情況，如果在實(shí)際測量中有一個(gè)遠(yuǎn)離分布中心的數(shù)值，即可判斷此數(shù)值是屬于異常值應(yīng)予剔除，異常值的判斷準(zhǔn)則就是跟據(jù)這個(gè)總的原則確定的。異常值的判斷準(zhǔn)則有：萊以特準(zhǔn)則、肖維勒準(zhǔn)則和格拉布斯準(zhǔn)則。

測量結(jié)果數(shù)字位數(shù)的確定，稱為測量結(jié)果的有效數(shù)字處理。所謂有效數(shù)字是指在一個(gè)數(shù)中，從左邊第一個(gè)非零數(shù)字開始直到最右邊的正確數(shù)字，都叫這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。對某一數(shù)字，根據(jù)保留位數(shù)的要求，將多余位數(shù)的數(shù)字按照一定規(guī)則進(jìn)行取舍，這一過程稱為數(shù)字修約。

一般為了保持測量結(jié)果的準(zhǔn)確度，根據(jù)測量結(jié)果的不確定度，當(dāng)有效數(shù)字的位數(shù)確定后，其后的數(shù)字應(yīng)一律舍去，最后一位有效數(shù)字，則按通用數(shù)字修約規(guī)則進(jìn)行修約。

通用數(shù)字修約規(guī)則為：以保留數(shù)字的末位為單位，末位后的數(shù)字大于0.5者末位進(jìn)一；末位后的數(shù)字小于0.5者末位不變；末位后的數(shù)字恰為0.5者，使末位成為偶數(shù)，即當(dāng)末位為偶數(shù)時(shí)則末位不變；當(dāng)末位為奇數(shù)時(shí)則末位進(jìn)一。

所謂等精度測量是指對某一量的測量，是在恒定的測量條件下進(jìn)行的。即在整個(gè)測量過程中，所使用的測量儀器、環(huán)境條件，以及測量者都沒有變化。

所謂不等精度測量是指對某一量的測量，在不同的條件下，不同的測量方法，不同的測量儀器，不同的測量次數(shù)，以及不同的測量人員進(jìn)行的，其目的是為了得到較高準(zhǔn)確度的測量結(jié)果。在不等精度測量結(jié)果的處理時(shí)，就不能把各種條件下所得到的結(jié)果以算術(shù)平均值作為它的可靠值，因?yàn)榇藭r(shí)它們不僅是在各種不同條件下得到的各組不同值，而且它們的準(zhǔn)確度各不相同。

在被測量的數(shù)目較多情況下，為了以較少的測量次數(shù)達(dá)到較高的測量準(zhǔn)確度，常常采用組合測量的方法。組合測量可以這樣理解，若同時(shí)有若干個(gè)同名的被測量，但不是直接測量它們而是直接測量由其組成的不同方程組成的某一些量，然后解此方程組以求得各被測量，這樣組合的過程稱為組合測量。

最小二乘法原理說：在等精度測量中，從一組測得值所確定代替真值的最佳估計(jì)值，是能使各測得值與它偏差值的平方和為最小的那個(gè)值。

因而可得：在等精度測量條件下，測得值的算術(shù)平均值是符合最小二乘法原理的最佳值，而它殘差的平方和也必然為最小。如果反過來說，如果它的殘差平方和為最小，那么在該條件下所得的值也是最佳估計(jì)值。

六、測量不確定度的概念及術(shù)語

根據(jù)所用到的信息，表征賦予被測量量值分散性的非負(fù)參數(shù)稱為測量不確定度。測量不確定度可理解為，是用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差、或?qū)嶒?yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差的倍數(shù)、或說明了包含概率的區(qū)間半寬度，來表征被測量量值的分散程度。

不確定度的定量評定只是一種估計(jì)，用來表征被測量值所處的范圍，是對測得量值可靠程度的一種評定：不確定度愈大，測得量值愈遠(yuǎn)離真值，表示測得量值不可靠；不確定度愈小，測得量值愈接近真值，表示測得量值可靠，其準(zhǔn)確度高。

測量不確定度的A類評定是指用統(tǒng)計(jì)分析的方法獲得的分量，并用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差表征；測量不確定度的B類評定是指用其他方法獲得的分量，也用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差表征，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或其他信息的概率密度函數(shù)評定。

用標(biāo)準(zhǔn)偏差表示的測量不確定度稱為標(biāo)準(zhǔn)不確定度。由測量模型中各輸入量有關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)測量不確定度獲得的標(biāo)準(zhǔn)測量不確定度稱為合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度。合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度與一個(gè)大于1的數(shù)的因子的乘積稱為擴(kuò)展不確定度。

包含區(qū)間是說明了概率的一組被測量真值所包含的區(qū)間。包含概率是指在包含區(qū)間內(nèi)包含一組被測量真值的概率。包含因子是指對合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度所乘的大于1的數(shù)。

由于被測量定義中細(xì)節(jié)的有限說明所產(chǎn)生的測量不確定度分量稱為定義的不確定度。根據(jù)測量結(jié)果的預(yù)期用途確定和規(guī)定的測量不確定度上限稱為目標(biāo)不確定度。由所用測量儀器或測量系統(tǒng)引起的測量不確定度的分量稱為儀器的不確定度。

準(zhǔn)確度是定性說明測量結(jié)果中隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差的綜合，即測得量值即不偏離真值，測得量值之間又不分散的程度。正確度是定性說明測得量值中系統(tǒng)誤差大小的程度，即數(shù)學(xué)期望和參考量值之間的一致程度。精密度是定量表示測量結(jié)果中隨機(jī)誤差大小的程度，反映了被測量的測得量值間的符合程度。

最大允許誤差是指由給定測量、測量儀器或測量系統(tǒng)的規(guī)范或規(guī)程所允許的，相對于已知參考量值的測量誤差的極限值。最大允許誤差是針對某一個(gè)測量區(qū)間，儀器不確定度是針對某一個(gè)量值；最大允許誤差給出的是測量誤差的極限值，儀器不確定度給出的是量值分散性的實(shí)際值；最大允許誤差是人為事先在技術(shù)規(guī)范中的規(guī)定，儀器不確定度可以人為事先確定也可以通過事后對儀器校準(zhǔn)所獲得。

測量儀器最大允許誤差與目標(biāo)不確定度都是事先規(guī)定的測量誤差的極限值或不確定度的上限值。可以從最大允許誤差或最大允許不確定度，以及誤差限或不確定度上限的角度來理解。如果目標(biāo)不確定度的目標(biāo)是針對測量儀器，即對測量儀器的不確定度規(guī)定了一個(gè)上限值或規(guī)定了若干個(gè)上限值，那么目標(biāo)不確定度和儀器不確定度就有相同的含義。

七、測量模型與測量函數(shù)

測量模型和測量函數(shù)是測量不確定度評定過程中的兩個(gè)重要數(shù)學(xué)概念。

測量模型是指測量所包含的全部已知量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，其通用形式是方程。測量模型是用于計(jì)算被測量估計(jì)值的數(shù)學(xué)公式。

測量函數(shù)是指：當(dāng)用測量模型中輸入量的已知量值計(jì)算的值是測量模型中輸出量的測得值時(shí)，各量的函數(shù)關(guān)系。測量函數(shù)是用于計(jì)算被測量估計(jì)值不確定度的數(shù)學(xué)公式。

在實(shí)際測量中，當(dāng)被測量確定后，就要根據(jù)被測量的定義，給出被測量的具體計(jì)算公式。被測量的計(jì)算公式明確給出了所有輸入量的估計(jì)值和被測量估計(jì)值之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，只要測量出各輸入量的量值后，代入到計(jì)算公式中即可計(jì)算出被測量的估計(jì)值。因此，當(dāng)被測量確定后，被測量的測量模型是指被測量的數(shù)學(xué)表達(dá)式，即被測量估計(jì)值的計(jì)算公式。

當(dāng)被測量確定后，要根據(jù)被測量的計(jì)算公式和被測量估計(jì)值不確定度的測量函數(shù)，給出被測量估計(jì)值不確定度的計(jì)算公式，將各個(gè)其他輸入量估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度的值和相應(yīng)的靈敏系數(shù)值代入公式便可計(jì)算出被測量估計(jì)值不確定度的值。

建立被測量的測量模型，首先要確定被測量，當(dāng)被測量確定后，就要根據(jù)被測量的定義，給出被測量的具體計(jì)算公式。因此，被測量的測量模型就是指被測量的計(jì)算公式。只要確定了被測量的計(jì)算公式，就可以很方便地建立被測量估計(jì)值不確定度的測量函數(shù)。因?yàn)楸粶y量估計(jì)值不確定度的測量函數(shù)，是建立在被測量估計(jì)值計(jì)算公式的基礎(chǔ)上。

在建立測量不確定度測量函數(shù)的過程中，如有數(shù)據(jù)表明，沒有將測量過程模型化至測量所要求的準(zhǔn)確度。即在測量中對各個(gè)其他輸入量的不確定度分量考慮的還不夠全面，遺漏了對測量結(jié)果不確定度有顯著影響的其他影響量。在這種情況下，則必須在測量函數(shù)中增加新的其他影響量，直至滿足測量結(jié)果不確定度的評定要求。

在測量不確定度的評定中，分析和確定不確定的來源十分重要。因?yàn)椴淮_定度來源不清楚，就無法評定測量不確定度。在分析測量不確定度來源時(shí)，原則上是可以說應(yīng)從設(shè)備、人員、環(huán)境、方法及被測對象幾個(gè)方面考慮，不可遺漏，也不可重復(fù)。但這不是一種簡單實(shí)用的方法，因?yàn)槿狈刹僮餍浴?/span>

在測量函數(shù)中，有多少個(gè)輸入量就有多少個(gè)不確定度來源，也就有多少個(gè)標(biāo)準(zhǔn)不確定度。當(dāng)被測量確定后，被測量估計(jì)值不確定度的計(jì)算公式也就確定了，根據(jù)公式就可以得到不確定度來源的具體內(nèi)容，并依次將其列出。如果遺漏了對測量結(jié)果不確定度有顯著影響的其他影響量，可在測量函數(shù)中增加新的其他影響量，直至滿足測量結(jié)果不確定度的評定要求。

 八、測量不確定度的評定方法

在測量不確定度的評定時(shí)，首先要確定被測量的最佳估計(jì)值。被測量的最佳估計(jì)值確定后，就要評定各輸入量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，其評定方法可采用A類評定和B類評定。再計(jì)算合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，評定擴(kuò)展不確定度，最后給出測量不確定度報(bào)告。

基本方法是指用貝塞爾公式計(jì)算實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差。即以算術(shù)平均值作為測得量值的最佳估計(jì)值，以算術(shù)平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差作為測得量值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，即A類評定的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

測量不確定度的B類評定，是指用不同于統(tǒng)計(jì)分析方法的其他方法評定的分量，并同樣用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差來表征。

測量不確定度B類評定的基本方法是，根據(jù)對被測分量估計(jì)值所提供信息的分析，確定被測分量估計(jì)值之值分散區(qū)間的半寬及其包含因子，根據(jù)公式計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量的估計(jì)值。

被測分量估計(jì)值之值分散區(qū)間的半寬，可以是擴(kuò)展不確定度、儀器不確定度、測量儀器的最大允許誤差，或其他與被測分量有關(guān)的誤差極限值。被測分量的包含因子，可以根據(jù)被測分量的分布類型確定?？梢?，標(biāo)準(zhǔn)不確定度B類評定的關(guān)鍵，一是如何確定被測分量估計(jì)值分散區(qū)間的半寬；二是如何確定其包含因子。

在對被測分量的概率分布無法估計(jì)時(shí)，可以采用假設(shè)概率分布的方法。優(yōu)先假設(shè)為均勻分布，其次假設(shè)為正態(tài)分布。當(dāng)假設(shè)概率分布為正態(tài)分布時(shí)，其包含因子在2~3中選擇。一般情況下，假設(shè)概率分布法是測量不確定度B類評定中一個(gè)比較實(shí)用的方法。

在合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度之前，應(yīng)確保所有不確定度分量均用標(biāo)準(zhǔn)不確定度表示，如果存在用其他形式表示的不確定度分量，則應(yīng)將其變換為標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度時(shí)應(yīng)考慮各輸入量間的相關(guān)性。按被測量估計(jì)值測量不確定度的測量函數(shù)導(dǎo)出的計(jì)算公式進(jìn)行合成計(jì)算，必要時(shí)考慮協(xié)方差。

擴(kuò)展不確定度是指合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度與包含因子的乘積。擴(kuò)展不確定度是被測量的可能值包含區(qū)間的半寬度。擴(kuò)展不確定度分為和兩種。在給出測量結(jié)果時(shí)，一般情況下應(yīng)報(bào)告擴(kuò)展不確定度。

當(dāng)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的概率分布近似為正態(tài)分布，且其有效自由度比較大時(shí)，或合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的有效自由度無法得到時(shí)，或擴(kuò)展不確定度沒有包含概率要求時(shí)，k值一般取2~3，在大多數(shù)情況下取k=2，當(dāng)取其他值時(shí)，應(yīng)說明其來源。如有包含概率的要求則應(yīng)合理選擇包含因子。

完整的測量結(jié)果含有兩個(gè)基本量，一是被測量的估計(jì)值；二是被測量估計(jì)值的測量不確定度。

擴(kuò)展不確定度的通用報(bào)告形式：依次給出被測量的符號及測得量值，擴(kuò)展不確定度的符號及量值，包含因子的符號及量值。           

九、產(chǎn)品檢驗(yàn)測量不確定度與合格評定

涉及產(chǎn)品檢驗(yàn)測量不確定度評定方法，以及考慮測量不確定度因素的合格評定方法。

測量不確定度適用于各種測量領(lǐng)域，是用于表征被測量值分散性的參數(shù)。因此，所有參數(shù)測量結(jié)果都應(yīng)給出被測量的量值和測量不確定度，可用GUM進(jìn)行評定。

檢定、校準(zhǔn)和檢測的共同點(diǎn)是參數(shù)測量，其核心是通過參數(shù)測量實(shí)現(xiàn)預(yù)期目的?？梢哉f參數(shù)測量是所有檢定、校準(zhǔn)、測試、檢驗(yàn)、檢測、檢疫的基本要素和通用技術(shù)手段，檢定、校準(zhǔn)、測試、檢驗(yàn)、檢測、檢疫等都是測量的一種特定形式，其相應(yīng)的測量能力都用測量不確定度表述。

在產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)中，一是規(guī)定產(chǎn)品的技術(shù)要求；二是規(guī)定產(chǎn)品的試驗(yàn)方法。規(guī)定的技術(shù)要求主要包括定量要求和定性要求：定量要求是指通過可測量的數(shù)值來表示的要求；定性要求是指其他要求，如產(chǎn)品的外觀、結(jié)構(gòu)、號型、功能、標(biāo)志、標(biāo)識、包裝、運(yùn)輸?shù)纫蟆Ｒ虼?，產(chǎn)品檢驗(yàn)結(jié)果的不確定度評定只針對有定量要求的產(chǎn)品特性參數(shù)。在對給定產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，根據(jù)產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)的規(guī)定技術(shù)要求，對產(chǎn)品質(zhì)量影響較大而又需要測量的特性參數(shù)評定測量不確定度。

產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)結(jié)果的不確定度評定，并不是對產(chǎn)品質(zhì)量最終檢驗(yàn)結(jié)果的評定，而是對產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的一組參數(shù)測量結(jié)果不確定度的評定。即產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)是一組參數(shù)測量的過程，每一個(gè)參數(shù)測量都應(yīng)給出測得值和相應(yīng)的測量不確定度。產(chǎn)品質(zhì)量的參數(shù)是由物理量、化學(xué)量以及其他可測量組成。

在合格評定中應(yīng)考慮測量不確定度的影響。如應(yīng)根據(jù)被測量的量值及其測量不確定度來判定產(chǎn)品是否合格。產(chǎn)品合格的判定依據(jù)是產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)，標(biāo)準(zhǔn)中一般給出由下限值和上限值組成的允許區(qū)間，或只給出下限值，或只給出上限值。

當(dāng)測量結(jié)果位于被測量的允許區(qū)間內(nèi)，或小于等于上限值，或大于等于下限值時(shí)，則判定檢驗(yàn)合格。

當(dāng)測量結(jié)果位于被測量的允許區(qū)間之外，或大于上限，或小于下限時(shí)，則判定檢驗(yàn)不合格。

十、測量不定度的應(yīng)用

將可以忽略的誤差和不確定度分量稱為微小誤差和微小不確定度。

微小誤差含微小確定性系統(tǒng)誤差和微小不確定度，其中微小確定性系統(tǒng)誤差的準(zhǔn)則為“十分之一”準(zhǔn)則；微小不確定準(zhǔn)則為“三分之一”準(zhǔn)則。

在實(shí)際測量工作中，經(jīng)常會根據(jù)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度來確定各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量，這類問題就稱為測量不確定度分配。例如在制定測量方案時(shí)，在已明確測量結(jié)果的目標(biāo)不確定度，即已給出測量結(jié)果不確定度的上限，如何確定來源于各個(gè)方面的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量的允許上限。又如在設(shè)計(jì)和制造測量儀器時(shí)，為保證測量儀器的最大允許誤差或目標(biāo)不確定度在允許范圍內(nèi)，對測量儀器各組成部分應(yīng)提出怎樣的要求。諸如此類的問題都屬于不確定度分配問題。

根據(jù)被測量允許誤差來選擇測量儀器是一種最常用的通用方法。該方法是指，測量時(shí)要使被測量的允許誤差等于3～10倍的測量儀器的最大允許誤差或儀器不確定度。

在實(shí)際測量過程中，如何合理選擇測量次數(shù)十分重要，可以從單次測量的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差與測量列算術(shù)平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差的關(guān)系上來選擇測量次數(shù)。

在實(shí)際測量過程中，間接測量必不可少。間接測量的值是各獨(dú)立直接測量值的函數(shù)，因此在數(shù)據(jù)處理時(shí)要根據(jù)函數(shù)誤差計(jì)算原則進(jìn)行。而間接測量必然涉及到函數(shù)計(jì)算公式，有時(shí)會有不同的計(jì)算公式可選擇?？梢酝ㄟ^不同計(jì)算公式得到的合成標(biāo)不確定度的結(jié)果，選擇最佳計(jì)算公式。

詳細(xì)內(nèi)容可參考由中國質(zhì)檢出版社和中國標(biāo)準(zhǔn)出版社聯(lián)合出版的（測量誤差與不確定度評定），耿維明編著。